Question

若直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x-y=0對稱，動點(diǎn)P（a，b）在不等式組

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動，則w=

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A、[2，+∞）
• B、（-∞，-2]
• C、[-2，2]
• D、（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：先依據(jù)已知條件結(jié)合圓的特點(diǎn)求出k，m的值，再根據(jù)條件畫出可行域，w=

b-2

a-1

，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)（1，2）連線的斜率的最值，從而得到w的取值范圍即可．

解答：解：∵M(jìn)，N是圓上兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x-y=0對稱，
∴直線x-y=0經(jīng)過圓的圓心（-

k

2

，-

m

2

），且直線x-y=0與直線y=kx+1垂直．
∴k=m=-1．
∴約束條件為：

-x-y+2≥0 -x+y≤0 y≥0

根據(jù)約束條件畫出可行域，
w=

b-2

a-1

，表示可行域內(nèi)點(diǎn)Q和點(diǎn)P（1，2）連線的斜率的最值，
當(dāng)Q點(diǎn)在原點(diǎn)O時(shí)，直線PQ的斜率為2，當(dāng)Q點(diǎn)在可行域內(nèi)的點(diǎn)B處時(shí)，直線PQ的斜率為-2，
結(jié)合直線PQ的位置可得，當(dāng)點(diǎn)Q在可行域內(nèi)運(yùn)動時(shí)，其斜率的取值范圍是：
（-∞，-2]∪[2，+∞）
從而得到w的取值范圍（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．巧妙識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．