Question

已知為實常數，函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）若函數有兩個不同的零點；
（Ⅰ）求實數的取值范圍；
（Ⅱ）求證：且.（注：為自然對數的底數）

Answer 1

（1）詳見解析；（2），證明詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值以及不等式等基礎知識，考查函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先對函數求導，由于函數有定義域，所以恒大于0，所以對進行討論，當時，導數恒正，所以函數在上是增函數，當時，的根為，所以將定義域從斷開，變成2部分，分別判斷函數的單調性；第二問，（1）通過第一問的分析，只有當時，才有可能有2個零點，需要討論函數圖像的最大值的正負，當最大值小于等于0時，最多有一個零點，當最大值大于0時，還需要判斷在最大值點兩側是否有縱坐標小于0的點，如果有就符合題意，（2）由（1）可知函數的單調性，只需判斷出和的正負即可，經過分析，因為,所以.只要證明:就可以得出結論，所以下面經過構造函數證明，只需求出函數的最值即可.
試題解析：（I）的定義域為．其導數．   1分
①當時，，函數在上是增函數；    2分
②當時，在區間上，；在區間上，．
所以在是增函數，在是減函數.     4分
（II）①由（I）知，當時，函數在上是增函數，不可能有兩個零點
當時，在是增函數，在是減函數，此時為函數的最大值，
當時，最多有一個零點，所以，解得， 6分
此時，，且，

令，則，所以在上單調遞增，
所以，即
所以的取值范圍是       8分
②證法一：
.設 . .
當 時， ；當 時， ；
所以在 上是增函數，在 上是減函數. 最大值為 .
由于 ，且 ，所以 ，所以.
下面證明：當時， .設 ，
則