Question

直線l與拋物線交于兩點A、B，O為坐標原點，且

（1）求證：直線l恒過一定點；

（2）若，求直線l的斜率k的取值范圍；

（3）設拋物線的焦點為F，，試問角能否等于120°？若能，求出相應的直線l的方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

解：（1）若直線l與x軸不垂直，設其方程為，l與拋物線的交點坐標分別為、，由得，即，

則又由得.

則即，則直線l的方程為，

則直線l過定點（2，0）.

若直線l與x軸垂直，易得 l的方程為x=2，

則l也過定點（2，0）.  綜上，直線l恒過定點（2，0）.

（2）由（1）得，可得 解得k的取值范圍是

（3）假定，則有，如圖，即

由（1）得. 由定義得 從而有

均代入（*）得

，即這與相矛盾.

經檢驗，當軸時，. 故