Question

已知橢圓C₁的中心在坐標原點，兩個焦點分別為F₁（-2，0），F₂（2，0），點A（2，3）在橢圓C₁上，過點A的直線L與拋物線交于B、C兩點，拋物線C₂在點B，C處的切線分別為l₁，l₂，且l₁與l₂交于點P．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P？若存在，指出這樣的點P有幾個（不必求出點P的坐標）；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標準方程及其性質即可得出；
（2）設出點B，C的坐標，利用A，B，C三點共線即可得出坐標之間的關系，利用導數的幾何意義可得切線的斜率，在得出切線的方程，即可得出交點P的坐標代人上面得到的關系式即可得到交點P的軌跡方程．由|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點P在橢圓C₁上，而點P又在直線y=x-3上，直線經過橢圓C₁的內部一點（3，0），即可判斷出其交點個數．
解答：解：（1）設橢圓的標準方程為，
由題意可得解得．
∴橢圓C₁的方程為；
（2）設點B，C，則，，
∵A，B，C三點共線，∴．
∴，化為2（x₁+x₂）-x₁x₂=12．①
由x²=4y，得．∴拋物線C₂在點B處的切線方程為，化為．②
同理拋物線C₂在點B處的切線方程為．③
設點P（x，y），由②③得，而x₁≠x₂，∴．
代人②得，于是2x=x₁+x₂，4y=x₁x₂代人①得4x-4y=12，即點P的軌跡方程為y=x-3．
若|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，則點P在橢圓C₁上，而點P又在直線y=x-3上，直線經過橢圓C₁的內部一點（3，0），
∴直線y=x-3與橢圓C₁有兩個交點，
∴滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P有兩個（不同于點A）．
點評：本題主要考查橢圓、拋物線曲線的切線等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、化歸于轉化的數學數學方法，以及推理論證能力、計算能力、創新意識．