Question

【題目】如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（I）求證：// 平面；

（II）若平面平面，， 求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）.

【解析】

（I）連接BD交AC于點(diǎn)F，再連接EF，利用EF是三角形DBS的中位線，判斷出DS平行EF，再利用線面平行的判定得證;

（II）取AB的中點(diǎn)為O，利用已知條件證明DO、SO、BO兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADC的法向量，再利用線面角的公式求出直線與平面所成角的正弦值.

（I）證明：連接BD角AC于點(diǎn)F，再連接EF.

因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以EF是三角形DBS的中位線，

所以DS平行EF，

又因?yàn)镋F平面ACE，SD平面ACE

所以// 平面

（II）因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，，所以

又AB=AD，所以三角形ABD為正三角形.

取AB的中點(diǎn)O，連接SO，則DOAB

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面 平面=AB

所以DO平面ABS，又因?yàn)槿�角形ABS為正三角形

則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

設(shè)AB=2a，則

設(shè)平面ADS的一個(gè)法向量為

則

取x=1，則

所以

設(shè)直線AC與平面ADS所成角為

則