Question

（本小題滿分12分）已知直線x－2y＋2＝0經過橢圓C：＝1(＞＞0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方

的動點，直線AS、BS與直線l：x＝分別交于M、N兩點．

（1）求橢圓C的方程；                     

（2）求線段MN的長度的最小值；

（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點T的個數，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）＋y2＝1

（2）

（3）當線段MN的長度最小時，橢圓上僅存在兩個不同的點T，使△TSB的面積為

【解析】解析：(1)由已知得，橢圓C的左頂點為A(－2,0)，上頂點為D(0,1)，

∴a＝2，b＝1，故橢圓C的方程為＋y2＝1………..4分

(2)直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AS的方程為y＝k(x＋2)，從而M，

由得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

設S(x1，y1)，則(－2)·x1＝得x1＝，

從而y1＝，

即S，又B(2,0)，

由得，

∴N，

故|MN|＝，

又k＞0，∴|MN|＝＋≥2＝.

當且僅當＝，即k＝時等號成立．

∴k＝時，線段MN的長度取最小值………8分

(3)由(2)可知，當MN取最小值時，k＝，

此時BS的方程為x＋y－2＝0，S，∴|BS|＝，

要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，

所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l上．

設直線l′：x＋y＋t＝0，

則由＝，解得t＝－或t＝－.

①當t＝－時，由得5x2－12x＋5＝0，

由于Δ＝44＞0，故l′與橢圓C有兩個不同的支點；

②當t＝－時，由得5x2－20x＋21＝0，

由于Δ＝－20＜0，故直線l′與橢圓沒有交點．

綜上所述，當線段MN的長度最小時，橢圓上僅存在兩個不同的點T，使△TSB的面積為………12分