Question

如圖，已知動直線l過點 P(4，0)，交拋物線y²＝2mx(m＞0)于A、B兩點，O為PQ的中點.(1)求證：

∠AQP＝∠BQP.(2)當m＝2時，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出l′的方程；如果不存在，試說明理由.

Answer 1

思路解析：(1)從圖中不難看出，要證∠AQP＝∠BQP，只要證：k_QA+k_QB＝0即可.(2)為探索性問題，一般假設直線存在，且被動圓所截得的弦長恒為定值，說明與動圓的直徑AP的斜率無關.

(1)證明：設直線AB的方程為y＝k(x-4)，代入y²＝2mx得

k²(x-4)²=2mx,∴k²x²-2(4k²+m)x+16k²=0.

設A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),則x₁x₂=16.

k_QA==,k_QB==.

∵k_QA+k_QB=+==0,

∴k_QA+k_QB=0,從而得∠AQP＝∠BQP.

(2)解：當m=2時，拋物線方程為y²=4x.

假設存在直線l′：x=a被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值，設弦長為L，依據垂徑定理，可知（）²=r²-d²，d是弦心距，r是圓的半徑，

∴（）²=(-4)²+（）²-(-a)²=-4x₁+ax₁++16-a²=(a-3)x₁+16-a².

∵為常數，∴(a-3)x₁+16-a²的取值與x₁無關.

∴a=3.∴存在直線l′：x=3，滿足以AP的直徑的圓截直線l′所得弦長為定值2.