Question

已知拋物線C：y=ax²（a＞0）上的點P（b，1）到焦點的距離為

5

4

，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如圖，已知動線段AB（B在A右邊）在直線l：y=x-2上，且|AB|=

2

，現過A作C的切線，取左邊的切點M，過B作C的切線，取右邊的切點為N，當MN∥AB，求A點的橫坐標t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出拋物線的準線方程，利用拋物線的定義把點P（b，1）到焦點的距離轉化為到準線的距離，由此可求a的值；
（Ⅱ）設出M和N的坐標，利用導數求出過M和N的切線方程，由t表示出A，B的坐標，把A，B代入切線方程后求出M和N的坐標，由兩點式寫出MN所在直線的斜率，由斜率等于1即可求出t的值．

解答：解：（Ⅰ）拋物線C：y=ax²即x2=

1

a

y，準線方程為：y=-

1

4a

，
∵點P（b，1）到焦點的距離為

5

4

，∴1+

1

4a

=

5

4

，∴a=1，∴拋物線C的方程為y=x²；
（Ⅱ）設M(x1，

x

2 1

)，N(x2，

x

2 2

)，∵y=x²，∴y'=2x，∴k_AM=2x₁，
∴切線AM的方程為：y-

x

2 1

=2x1(x-x1)，即y=2x1x-

x

2 1

，
同理可得切線BN的方程為：y=2x2x-

x

2 2

由于動線段AB（B在A右邊）在直線l：y=x-2上，且|AB|=

2

，
故可設A（t，t-2），B（t+1，t-1），
將A（t，t-2）代入切線AM的方程，得t-2=2x1t-

x

2 1

，即

x

2 1

-2tx1+t-2=0，
∴x1=

2t- 4t2-4(t-2)

2

=t-

t2-t+2

，
同理可得x2=t+1+

(t+1)2-(t+1)+2

=t+1+

t2+t+2

，
∵kMN=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=x1+x2，當MN∥AB時，k_MN=1，得x₁+x₂=1，
∴t-

t2-t+2

+t+1+

t2+t+2

=1，
∴2t=

t2-t+2

-

t2+t+2

，
∴2t=

-2t

t2-t+2 + t2+t+2

得t=0或

t2-t+2

+

t2+t+2

=-1（舍去），∴t=0．

點評：本題考查了拋物線的方程，運用了數學轉化思想方法．考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用導數求曲線上某點的切線方程，考查了二次方程根的求法，解答此題的關鍵是用A點的坐標表示出B點的坐標，屬難題．