Question

定義：若對定義域D內的任意兩個x₁，x₂（x₁≠x₂）均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，則稱函數y=f（x）是D上的“平緩函數”．
（1）h（x）=x²-x是否為R上的“平緩函數”，并說明理由；
（2）試證明對?k∈R，f（x）=x²+kx+1都不是區間（-1，1）上的平緩函數；
（3）若數列{x_n}，?n∈N^*中，總有|x_n+1-x_n|≤

1

(2n+1)2

，若y=sinx為“平緩函數”，求證|y_n+1-y₁|＜1．．

Answer 1

分析：（1）取x₁=3，x₂=1，則|h（x₁）-h（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，即可得到結論；
（2）區間（-1，1）上的任意兩個x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k||x₁-x₂|，分類討論，即可得到結論；
（3）利用y=sinx是R上的“平緩函數”，可得|y_n+1-y_n+1|≤|x_n+1-x_n|≤

1

(2n+1)2

＜

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），因此可得結論．

解答：（1）解：取x₁=3，x₂=1，則|h（x₁）-h（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，因此h（x）=x²-x不是R上的“平緩函數”；
（2）證明：區間（-1，1）上的任意兩個x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k||x₁-x₂|，
若k≥0，則當x₁，x₂∈（

1

2

，1）時，x₁+x₂+k＞1，從而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|；
若k＜0，則當x₁，x₂∈（-1，-

1

2

）時，x₁+x₂+k＜-1，∴|x₁+x₂+k|＞1，從而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，
∴?k∈R，f（x）=x²+kx+1都不是區間（-1，1）上的平緩函數；
（3）證明：∵y=sinx是R上的“平緩函數”，
∴|y_n+1-y_n+1|≤|x_n+1-x_n|≤

1

(2n+1)2

＜

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
∴|y_n+1-y₁|＜

1

4

[（

1

n

-

1

n+1

）+（

1

n-1

-

1

n

）+…+（1-

1

2

）]=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

∴|y_n+1-y₁|＜1．

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．