Question

【題目】設函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x2
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（﹣ ，+∞）

f′（x）= +2x=

當﹣ ＜x＜﹣1時，f′（x）＞0；

當﹣1＜x＜﹣ 時，f′（x）＜0；

當x＞﹣ 時，f′（x）＞0

從而，f（x）在區(qū)間（﹣ ，﹣1），（﹣ ，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（﹣1，﹣ ）上單調(diào)遞減

（2）解：f（x）的定義域為（﹣ ，+∞）

由（1）知f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]的最小值為f（﹣ ）=ln2+

又f（﹣ ）﹣f（ ）=ln + ﹣ln ﹣

=ln + = （1﹣ln ）＜0

所以f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]的最大值為f（ ）= +ln ．

【解析】（1）先根據(jù)對數(shù)定義求出函數(shù)的定義域，然后令f′（x）=0求出函數(shù)的穩(wěn)定點，當導函數(shù)大于0得到函數(shù)的增區(qū)間，當導函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）知f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]的最小值為f（﹣ ）求出得到函數(shù)的最小值，又因為f（﹣ ）﹣f（ ）＜0，得到f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]的最大值為f（ ）求出得到函數(shù)的最大值．
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．