Question

如圖，直線y＝x與拋物線y＝x²－4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y＝－5交于Q點．

(1)求點Q的坐標；

(2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解方程組得 　　即A(－4，－2)，B(8，4)，從而AB的中點為M(2，1)． 　　由kAB＝，直線AB的垂直平分線方程y－1＝(x－2)． 　　令y＝－5，得x＝5，∴Q(5，－5) 　　(2)直線OQ的方程為x＋y＝0，設P(x，x2－4)． 　　∵點P到直線OQ的距離d＝＝|x2＋8x－32|， 　　|OQ|＝5，∴S△OPQ＝|OQ|d＝|x2＋8x－32|． 　　∵P為拋物線上位于線段AB下方的點，且P不在直線OQ上， 　　∴－4≤x＜4－4或4－4＜x≤8． 　　∵函數y＝x2＋8x－32在區間[－4，8]上單調遞增， 　　∴當x＝8時，△OPQ的面積取到最大值30．