Question

如圖，已知橢圓的右焦點為F，過F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點，右準線交x軸于點K，左頂點為A．

    （Ⅰ）求證：KF平分∠MKN；

   （Ⅱ）直線AM、AN分別交準線于點P、Q，

設直線MN的傾斜角為，試用表示

線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

 

Answer 1

【答案】

時，

【解析】解：（Ⅰ）法一：作MM₁⊥于M₁，

NN₁⊥于N₁，則，

又由橢圓的第二定義有

∴∴∠KMM₁=∠KNN₁，

即∠MKF=∠NKF，

∴KF平分∠MKN

法二：設直線MN的方程為.

設M、N的坐標分別為,

由

∴

設KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可.

∵  ∴

而

即 得證.

（Ⅱ）由A，M，P三點共線可求出P點的坐標為

由A，N，Q三點共線可求出Q點坐標為，

設直線MN的方程為.由

∴

 

則：

又直線MN的傾斜角為，則，∴

∴時，