Question

已知雙曲線C：

x2

2

-

y2

b2

=1(b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，P，M為C上任意點，∠F1PF2=

π

2

，S△PF1F2=1，N(

3

2

，1)，則

6

3

|MF2|+|MN|的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由雙曲線的方程可得 a=

2

，c=

2+b2

，由條件可得雙曲線的方程為為

x2

2

-y2=1，過M作右準線
的垂線MH，H為垂足，由雙曲線的定義可得|MH|=

6

3

|MF₂|，故 

6

3

|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|．

解答：解：由雙曲線的方程可得 a=

2

，c=

2+b2

，F₁ （-c，0），F₂  （c，0）．
設點P的坐標為（m，n），n＞0，則有

n-0 m+ 2+b2 • n m- 2+b2 =-1 m2 2 - n2 b2 =1 1 2 ×2 2+b2 ×n = 1

，解得  b²=1，
故雙曲線的方程為

x2

2

-y2=1，故c=

3

，e=

3

2

=

6

2

．過M作右準線 x=

2

3

  的垂線MH，H為垂足，
 由雙曲線的定義可得

|MF2|

|MH|

=e=

6

2

，∴|MH|=

6

3

|MF₂|．
 故 

6

3

|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|=

3

2

-

2

3

=

9-4 3

6

，
當且僅當M、N、H 三點共線時取等號．

點評：本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，得到|MH|=

6

3

|MF₂|，是解題的關鍵．