Question

已知雙曲線C：

x2

2

-y2 =1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點M的坐標為（0，1）．設P是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點，記λ=

MP

•

MQ

．求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令雙曲線方程的右邊為0，化簡即可得到雙曲線的漸近線方程；
（2）用坐標表示向量，利用向量的數量積建立函數關系式，根據雙曲線的范圍，可求得λ的取值范圍．

解答：解：（1）由雙曲線C：

x2

2

-y2 =1．
可得

x2

2

-y2 =0
解得所求漸近線方程為y-

2

2

x=0， y+

2

2

x=0
（2）設P的坐標為（x₀，y₀），則Q的坐標為（-x₀，-y₀），
∴λ=

MP

•

MQ

=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=-

x

2 0

-

y

2 0

+1=-

3

2

x

2 0

+2．
∵|x0|≥

2

∴λ的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的幾何性質，考查向量的數量積，考查函數的值域，屬于基礎題．