Question

設函數f(x)=

4x-1

4x+1

（1）解不等式f(x)＜

1

3

；（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式代入不等式，整理后得到關于4^x的不等式，把不等式左右兩邊化為底數為2的冪形式，根據指數函數為增函數，得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集；
（2）法一：把函數解析式整理為f（x）=1+

-2

4x+1

，由4^x大于0，得到4^x+1的范圍，可得到

-2

4x+1

的范圍，進而確定出1+

-2

4x+1

的范圍，即為函數f（x）的值域；
法二：設y=f（x），從函數解析式中分離出4^x，根據4^x大于0列出關于y的不等式，變形后得到y+1與y-1異號，轉化為兩個一元一次不等式，求出不等式的解集，即為函數的值域．

解答：解：（1）將f（x）的解析式代入不等式得：

4x-1

4x+1

＜

1

3

，
整理得：3•4^x-3＜4^x+1，即4^x=2^2x＜2=2¹，
∴2x＜1，
解得：x＜

1

2

，
則不等式的解集為{x|x＜

1

2

}；
（2）法一：f（x）=

4x-1

4x+1

=1+

-2

4x+1

，
∵4^x＞0，∴4^x+1＞1，
∴-2＜

-2

4x+1

＜0，
∴-1＜1+

-2

4x+1

＜1，
則f（x）的值域為（-1，1）；
法二：∵y=f（x）=

4x-1

4x+1

，
∴4^x=

y+1

1-y

＞0，即

y+1

y-1

＜0，
可化為：

y+1＞0 y-1＜0

或

y+1＜0 y-1＞0

，
解得：-1＜y＜1，
則f（x）的值域為（-1，1）．

點評：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：指數函數的單調性，指數函數的定義域與值域，以及一元一次不等式的解法，利用轉化的思想，是高考中�？嫉念}型．