【題目】如圖，已知四棱錐
的底面
是邊長為1的正方形，
底面，且
．
（1）若點
、
分別在棱
、
上，且
，
，求證：
平面
；
（2）若點
在線段
上，且三棱錐
的體積為
，試求線段
的長．
【答案】（1）見解析； （2）
.
【解析】
（1）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數(shù)量積垂直關系坐標表示表示計算論證線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理得結果；
（2）先利用向量求點面距，再根據(jù)體積公式列方程解得向量
的坐標，最后根據(jù)向量的模的坐標公式求結果.
（1）以點
為坐標原點，
為
軸正方向，
為
軸正方向建立空間直角坐標系．
則
，
，
，
，
，
因為
，
，所以
，
，
則
，
，
．
，
，即
垂直于平面
中兩條相交直線，
所以
平面．
（2）
，可設
，
所以向量的坐標為
，
平面的法向量為．
點
到平面
的距離
．
中，
，
，
，所以
．
三棱錐
的體積
，所以
．
此時向量的坐標為
，
，即線段
的長為．
階梯計算系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，正三棱柱
的底面邊長和側棱長都為2，
是
的中點.
（1）在線段
上是否存在一點
，使得平面
平面
，若存在指出點在線段上的位置，若不存在，請說明理由；
（2）求直線
與平面所成的角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝
x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.
(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；
(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標值落在區(qū)間
，
，
內(nèi)的頻率之比為
．
（Ⅰ）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在區(qū)間
內(nèi)抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意
抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間
內(nèi)的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，
軸為極軸建立極坐標系，曲線
的方程為
（
為參數(shù)），曲線
的極坐標方程為
，若曲線與相交于
、
兩點．
（1）求
的值；
（2）求點
到、兩點的距離之積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
、
分別是
、
的中點.
（1）設棱
的中點為
，證明：
平面
；
（2）若
，
，
，且平面
平面
.
（i）求三棱柱的體積
；
（ii）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
為等邊三角形，
，
面積是面積的兩倍，點
在側棱
上.
（1）若
，證明：平面
平面
；
（2）若二面角
的大小為
，且為的中點，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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