Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，那么在區間[-1，3]內，關于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠-1）有4個不同的根，則k的取值范圍是（　　）

• A、(-

  1

  4

  ，0)
• B、（-1，0）
• C、(-

  1

  2

  ，0)
• D、(-

  1

  3

  ，0)

Answer 1

分析：把方程f（x）=kx+k+1的根轉化為函數f（x）的圖象和y=kx+k+1的圖象的交點在同一坐標系內畫出圖象由圖可得結論．

解答：解：因為關于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠-1）有4個不同的根，
就是函數f（x）的圖象與y=kx+k+1的圖象有4個不同的交點，
f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，
所以可以得到函數f（x）的圖象
又因為y=kx+k+1=k（x+1）+1過定點（-1，1），
在同一坐標系內畫出它們的圖象如圖，
由圖得y=kx+k+1=k（x+1）+1在直線AB和y=1中間時符合要求，
而k_AB=-

1

3

所以k的取值范圍是-

1

3

＜k＜0
故選D．

點評：本題考查根的個數的應用和數形結合思想的應用．，數形結合的應用大致分兩類：一是以形解數，即借助數的精確性，深刻性來講述形的某些屬性；二是以形輔數，即借助與形的直觀性，形象性來揭示數之間的某種關系，用形作為探究解題途徑，獲得問題結果的重要工具．