Question

（本小題共12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），（為常數(shù)），是實數(shù)集 上的奇函數(shù)．（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）討論關(guān)于的方程：的根的個數(shù)；

（Ⅲ）設(shè)，證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ) 見解析  （Ⅲ）見解析

解析:

（I）證:令,令時

  時,.  ∴

  ∴ 即.

  （II）∵是R上的奇函數(shù)  ∴  ∴

  ∴  ∴  故.

  故討論方程在的根的個數(shù).

  即在的根的個數(shù).

  令.注意,方程根的個數(shù)即交點個數(shù).

  對, ,

  令, 得，  當(dāng)時,; 當(dāng)時,.  ∴，

  當(dāng)時,；   當(dāng)時,， 但此時

，此時以軸為漸近線。

  ①當(dāng)即時,方程無根;

②當(dāng)即時,方程只有一個根.

③當(dāng)即時,方程有兩個根.

  （Ⅲ）由(1)知,   令,

  ∴,于是,

  ∴

   .