Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知P點到兩定點D（﹣2，0），E（2，0）連線斜率之積為- ．
（1）求證：動點P恒在一個定橢圓C上運動；
（2）過 的直線交橢圓C于A，B兩點，過O的直線交橢圓C于M，N兩點，若直線AB與直線MN斜率之和為零，求證：直線AM與直線BN斜率之和為定值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設P（x，y），由題意可得kPDkPE=﹣ ，

即有 =﹣ ，

化為 =1

（2）解：設過F的直線為x=my+ ，

代入橢圓方程x2+2y2=4，

可得（2+m2）y2+2 my﹣2=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

即有y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

x1=my1+ ，x2=my2+ ，

由題意可得，過O的直線x=﹣my交橢圓C于M，N兩點，

解得M（﹣ ， ），N（ ，﹣ ），

可得kAM+kBN= + ，

通分后的分子=x2y1﹣ x2﹣ y1+x1y2+ x1+ y2+

=2my1y2+ （1+y2）+ （x1﹣x2）+ （y2﹣y1）+

=﹣ ﹣ + （y1﹣y2）+ （y2﹣y1）+ =0．

即有直線AM與直線BN斜率之和為定值0．

【解析】（1）設P（x，y），由題意可得kPDkPE=﹣ ，運用直線的斜率公式，化簡即可得到所求軌跡方程；（2）設過F的直線為x=my+ ，代入橢圓方程x2+2y2=4，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），運用韋達定理，點滿足直線方程，再由過O的直線x=﹣my交橢圓C于M，N兩點，求得M，N的坐標，運用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到直線AM與直線BN斜率之和為定值0．