Question

 (本小題滿分12分)已知雙曲線2x²－2y²＝1的兩個焦點為F₁，F₂，P為動點，若|PF₁|＋|PF₂|＝4.

(1)求動點P的軌跡E的方程；

(2)求cos∠F₁PF₂的最小值．

Answer 1

【解析】　(1)依題意雙曲線方程可化為－＝1，

則|F₁F₂|＝2，

∴|PF₁|＋|PF₂|

＝4>|F₁F₂|＝2.

∴點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，

其方程可設為＋＝1

(a>b>0)．

由2a＝4,2c＝2，

得a＝2，c＝1，

∴b²＝4－1＝3.則所求橢圓方程為＋＝1，

故動點P的軌跡E的方程為＋＝1.

(2)設|PF₁|＝m>0，

|PF₂|＝n>0，∠F₁PF₂＝θ，

則由m＋n＝4，|F₁F₂|＝2，

可知在△F₁PF₂中，

cosθ＝