Question

【題目】已知如圖，橢圓：與直線交橢圓于，兩點．

（Ⅰ）若直線經過橢圓的左焦點，交軸于點，且滿足，.求證：為定值；

（Ⅱ）若，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設出直線方程，設出AB的坐標，直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理結合，．即可證明：λ+μ為定值；（Ⅱ）當直線OA，OB分別與坐標軸重合時，易知．當直線OA，OB斜率存在且不為0時，設，設，，直線y＝kx代入橢圓C得到x2+2k2x2﹣2＝0，求出A，B坐標，表示出三角形的面積，利用換元法轉化為二次函數求解三角形的面積的范圍．

（Ⅰ）證明：由題設知直線斜率存在，設直線方程為，則.

設，，直線代入橢圓得，

所以，，

由，知，，.

（Ⅱ）當直線，分別與坐標軸重合時，易知.

當直線，斜率存在且不為0時，設：，：，

設，，直線代入橢圓得到，

所以，，

同理，，

，

令，

則 ，

因為，所以，

故，綜上.