Question

【題目】已知動點到點的距離比到直線的距離小，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過曲線上一點（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）． （2）證明見詳解.

【解析】

（1）將描述的軌跡性質，轉化為拋物線的定義，據此寫出曲線方程；

（2）設出直線AB方程，利用，得到直線AB方程中系數之間的關系，從而證明直線恒過定點.

（1）由題意可知，到點的距離比到直線的距離小，

則：動點到點的距離與到直線的距離相等，

故：點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，

所以曲線的方程為．

（2）因為點M在拋物線上，故可知，

設點，，直線的方程為：，

聯立，得，

所以，

所以；

因為，

即，

所以，

等價于，所以或

當時，直線的方程：

直線過定點與重合，舍去；

當時，直線的方程：

直線過定點，所以直線過定點．