Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1- an+1

n

，記Sn=

n

k=1

bk，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由{

1

1-an

}是公差為1的等差數(shù)列，知

1

1-an

=

1

1-a1

+(n-1)×1=n，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，能夠證明S_n＜1．

解答：解：（Ⅰ）{

1

1-an

}是公差為1的等差數(shù)列，

1

1-an

=

1

1-a1

+(n-1)×1=n，
∴an=

n-1

n

（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=(

1

1

-

1

2

)  +(

1

2

-

1

3

) +…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．