Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC上一點，且PA//平面BDM，

   （1）求證：M為PC的中點；

   （2）求證：面ADM⊥面PBC。

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ) 見解析 

解析:

（1）：連接AC，AC與BD交于G，則面PAC∩面BDM=MG，

由PA//平面BDM，可得PA//MG……3分∵底面ABCD為菱形，∴G為AC的中點，

∴MG為△PAC的中位線。因此M為PC的中點。……5分

   （2）取AD中點O，連結PO，BO。∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，

又因為平面PAD⊥平面ABCD，所以，PO⊥平面ABCD，…7分

∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，

∴AD⊥OB。∴OA，OB，OP兩兩垂直，建立空間直角坐標系…7分

………………9分

……11分∴DM⊥平面PBC，又DM平面ADM，

∴ADM⊥面PBC  …12分

注：其他方法參照給分。