Question

【題目】設函數f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在區間（0，2）上有兩個極值點，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法一：f（x）=x（lnx﹣ax），求導f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關于x的方程a= 在區間（0，+∞）由兩個不相等的實根，

令h（x）= ，h′（x）=﹣ ，

當x∈（0，1）時，h（x）單調遞增，當x∈（1，+∞）單調遞減，

當x→+∞時，h（x）→0，

由圖象可知：函數f（x）=x（lnx﹣ax），在（0，2）上由兩個極值，

只需 ＜a＜ ，

故D．

方法二：f（x）=x（lnx﹣ax），求導f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關于x的方程2ax=lnx+1在區間（0，2）由兩個不相等的實根，

則y=2ax與y=lnx+1有兩個交點，

由直線y=lnx+1，求導y′= ，

設切點（x0，y0）， = ，解得：x0=1，

∴切線的斜率k=1，

則2a=1，a= ，

則當x=2，則直線斜率k= ，

則a= ，

∴a的取值范圍（ ， ），

故選D．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．