Question

【題目】已知函數，其中；

（l）判斷函數是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；

（2）討論在上函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1) ，設，，因此單調遞減,,討論正負即可判斷出極值情況;

(2)由(1)可知若時,恒為增函數,計算可知,此時無零點, 若時, ,可求得,討論與的關系,及若，,函數在區間的單調性及函數值在區間端點的符號,即可得出結論.

（1），設，

，因此單調遞減，

，

又時，，

若，即時，

，使；

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

在處取極大值，不存在極小值.

若，即，，

在單調遞增，此時無極值.

（2）由第一問結論可知：

（i）若時，由上問可知：

，

即時函數沒有零點.

（ii）若時，時單調遞增；

時，單調遞減.

由，得，

從而，再設，

則，從而a關于單調遞增.

①若，此時，

若得或，

所以時無零點；

若得，

所以時有一個零點；

當，，有一個零點.

因此時無零點；

時有一個零點；

②此時，

，，

，

設，

則，

所以，

若即，即時無零點；

若即，即時有一個零點.

綜上所述：時無零點；

時有一個零點.