Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體中，點在上移動，點在上移動，，連接.

（1）證明：對任意，總有∥平面；

（2）當的長度最小時，求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

作∥，交于點，作∥，交于點，連接.通過證明四邊形為平行四邊形,可得∥,再根據直線與平面平行的判斷定理可證.

(2)根據題意計算得 ,再配方可得取最小值時 分別為的中點,再取 為 , 連接，，,

可得是二面角的平面角,再計算可得.

（1）證明：如圖，作∥，交于點，

作∥，交于點，連接.

由題意得∥，且，則四邊形為平行四邊形.

∴∥.

又∵，，

∴∥.

（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，∴.

∵，∴.

∵，∴，.

即，

故當時，的長度有最小值。

分別取，的中點、，連接，，。

易知，，故是二面角的平面角

在中，。所以.