Question

（2007•湖北模擬）已知函數f（x）=x²-2x-3，x∈[0，1]，g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求f（x）的值域M；
（2）若a≥1，求g（x）的值域N；
（3）在（2）的條件下，若對于任意的x∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）d的對稱軸，判斷出函數f（x）的單調性，進一步求出f（x）的最值即值域．
（2）求出函數g（x）的導函數，判斷出導函數的符號，得到函數g（x）的單調性，求出g（x）的值域；
（3）將已知條件對任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]使f（x₁）=g（x₀）轉化為兩個函數值域的關系M⊆N，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）²-4，x∈[0，1]
所以f（x）在[0，1]單調遞減，
所以當x=0時函數最大為-3，當x=1時函數最小為-4
故f（x）值域為M=[-4，-3]（4分）
（2）∵g′（x）=3x²-3a²=3（x²-a²）
∵x∈[0，1]a≥1
∴x²-a²≤0即g′（x）≤0
∴g′（x）=x²-3a²x-2a在[0，1]上單調遞減
故g（x）的值域為N=[1-2a-3a²，-2a]（8分）
（3）∵對任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]使f（x₁）=g（x₀）
∴M⊆N
∴

1-2a-3a2≤-4 -2a≥-3

即

a≥1或a≤- 5 3 a≤ 3 2

又∵a≥1
∴a∈[1，

3

2

]（13分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立問題、利用導數求閉區間上函數的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．