Question

設定義在[0，2]上的函數f（x）滿足下列條件：
①對于x∈[0，2]，總有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；②對于x，y∈[1，2]，若x+y≥3，則f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．
證明：（1）對于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，則f（x+y）≥f（x）+f（y）-1
（2）f(

1

3n

)≤

2

3n

+1（n∈N^*）；
（3）x∈[1，2]時，1≤f（x）≤13-6x．

Answer 1

分析：（1）由f（2-x）=f（x）知，函數f（x）圖象關于直線x=1對稱，則根據②可知：對于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
兩者結合即得；
（2）先利用單調函數的定義證明f（x）在[0，1]上是不減函數，利用f(

1

3n-1

)=f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)≥f(

1

3n

+

1

3n

)+f(

1

3n

)-1≥3f(

1

3n

)-2，進行放縮結合等比數列的求和即得；（3）對于任意x∈（0，1]，則必存在正整數n，使得

1

3n

≤x≤

1

3n-1

．因為f（x）在（0，1）上是不減函數，所以f(

1

3n

)≤f(x)≤f(

1

3n-1

)，由（2）知f(

1

3n-1

)≤

2

3n-1

+1=6

1

3n

+1≤6x+1，結合題中條件充分利用賦值法及不等式的性質即可．

解答：證明：（1）由f（2-x）=f（x）知，函數f（x）圖象關于直線x=1對稱，
則根據②可知：對于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
則f（x+y）≥f（x）+f（y）-1．…（2分）
（2）設x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，則x₂-x₁∈[0，1]．
∵f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1≥0，
∴f（x）在[0，1]上是不減函數．…（4分）
∵f(

1

3n-1

)=f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)≥f(

1

3n

+

1

3n

)+f(

1

3n

)-1≥3f(

1

3n

)-2，
∴f(

1

3n

)≤

1

3

f(

1

3n-1

)+

2

3

≤

1

32

f(

1

3n-2

)+

2

32

+

2

3

≤…≤

1

3n

f(

1

3n-n

)+

2

3n

+…+

2

3

=

1

3n-1

+1-

1

3n

=

2

3n

+1．…（8分）
（3）對于任意x∈（0，1]，則必存在正整數n，使得

1

3n

≤x≤

1

3n-1

．
因為f（x）在（0，1）上是不減函數，所以f(

1

3n

)≤f(x)≤f(

1

3n-1

)，
由（2）知f(

1

3n-1

)≤

2

3n-1

+1=6

1

3n

+1≤6x+1．
由①可得f（2）≥1，在②中，令x=y=2，得f（2）≤1，∴f（2）=1．
而f（2）=f（0），∴f（0）=1，又f(

1

3n

)≥f(0)，∴f(

1

3n

)≥1，
∴x∈[0，1]時，1≤f（x）≤6x+1．．…（12分）
∵x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，且f（x）=f（2-x），
∴1≤f（2-x）≤6（2-x）+1=13-6x，
因此，x∈[1，2]時，1≤f（x）≤13-6x．…．（14分）

點評：本題主要考查函數單調性的性質、函數單調性的判斷與證明、數列知識與函數知識的綜合問題．解答關鍵在于對賦值法的熟練應用．