Question

我們把y=x^m（m∈Q）叫做冪函數．冪函數y=x^m（m∈Q）的一個性質是：當m＞0時，在（0，+∞）上是增函數；當m＜0時，在（0，+∞）上是減函數．設冪函數f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N）．
（1）若g_n（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），證明：

an

2n-1

≤gn(x)＜an
（2）若g_n（x）=f（x）-f（x-a），對任意n≥a＞0，證明：g_n′（n）≥n!a．

Answer 1

分析：（1）由已知求g_n（x）的值域，首先求g_n′（x），在利用g_n′（x）＞0，g_n′（x）＜0分別求出函數的單調遞增區間和單調遞減區間，得到函數的極值點x=

a

2

，進而得到函數的最值，即可以得到函數的值域．
（2）當x≥a＞0時，g_n′（x）=n[x^n-1-（x-a）^n-1]＞0，g_n（x）是關于x的增函數，當n≥a時，得（n+1）ⁿ-（n+1-a）ⁿ＞nⁿ-（n-a）ⁿ．
進而得

gn+1′(n+1)

gn′(n)

＞n+1，（*），根據（*）式可以構造等式g_n′（n）=

g ′ n (n)

g ′ n-1 (n-1)

•

g ′ n-1 (n-1)

g ′ n-2 (n-2)

…

g ′ 3 (3)

g ′ 2 (2)

•g₂′（2）＞n×（n-1）×…×3×2a=n!a，又g₂′（2）=2[2^2-1-（2-a）^2-1]=2!a，故n≥2，n∈N時，有g_n′（n）≥n!a

解答：證明（1）∵g_n（x）=f（x）+f（a-x）=xⁿ+（a-x）ⁿ，
∴g_n′（x）=nx^n-1+n（a-x）^n-1（-1）=n[x^n-1-（a-x）^n-1]
令g_n′（x）=0，得x^n-1=（a-x）^n-1，又x∈（0，a）．
根據冪函數的單調性，得x=a-x，即x=

a

2

，由下表：

∴gn(x)min=gn(

a

2

)=(

a

2

)n+(a-

a

2

)n=

an

2n-1

又g_n（x）在x=0，x=a處連續，且g_n（0）=g_n（a）=aⁿ，
故

an

2n-1

≤gn(x)≤an．
（2）∵g_n（x）=f（x）-f（x-a）=xⁿ-（x-a）ⁿ，
∴g_n′（x）=n[x^n-1-（x-a）^n-1]，
∵當x≥a＞0時，g_n′（x）＞0，∴x≥a＞0時，g_n（x）是關于x的增函數，
∴當n≥a時，（n+1）ⁿ-（n+1-a）ⁿ＞nⁿ-（n-a）ⁿ．
∴g_n+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）ⁿ-（n+1-a）ⁿ]＞（n+1）[nⁿ-（n-a）ⁿ]＞（n+1）[nⁿ-n（n-a）^n-1]
=（n+1）n[n^n-1-（n-a）^n-1]=（n+1）g_n′（n）
于是

g ′ n+1 (n+1)

g ′ n (n)

＞n+1，而g₂′（2）=2[2^2-1-（2-a）^2-1]=2a
當n≥3時，g_n′（n）=

g ′ n (n)

g ′ n-1 (n-1)

•

g ′ n (n-1)

g ′ n-2 (n-2)

…

g ′ 3 (3)

g ′ 2 (2)

•g₂′（2）＞n×（n-1）×…×3×2a=n!a，
又n=2時，g₂′（2）=2[2^2-1-（2-a）^2-1]=2!a
故n≥2，n∈N時，有g_n′（n）≥n!a

點評：本題主要考查函數的單調性、極值、最值等基本的函數知識，對（2）最關鍵的地方，是善于觀察，結合平時的總結經驗，構造等式g_n′（n）=

g ′ n (n)

g ′ n-1 (n-1)

•

g ′ n (n-1)

g ′ n-2 (n-2)

…

g ′ 3 (3)

g ′ 2 (2)

•g₂′（2），進而得到結果．這道題的結論中出現n!，這時我們要能夠想到構造類似的等式，這都是平時的總結經驗，只有平時多總結、探索，才能在實戰中，做到舉一反三．