Question

給出命題p：方程

x2

a

+

y2

2-a

=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．
（1）若命題p是真命題，求a的取值范圍；
（2）如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據焦點在y軸上橢圓的方程特征，建立關于a的不等式組，解之即可得到a的取值范圍；
（2）先求出當命題q為真時，實數a的取值范圍為（-∞，

1

2

）∪（

5

2

，+∞）．而命題“p∨q”為真且“p∧q”為假，
說明p、q中一個為真命題且另一個為假命題，由此分“p真q假”和“p假q真”兩種情況討論加以討論，分別建立關于a的不等式組，解不等式組后再取并集，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）若命題p為真，則有

a＞0 2-a＞0 2-a＞a

解之得0＜a＜1，即實數a的取值范圍為（0，1）；
（2）若命題q為真，則有
△=（2a-3）²-4＞0，解之得a＜

1

2

或a＞

5

2

∵命題“p∨q”為真，“p∧q”為假
∴p、q中一個為真命題，另一個為假命題，
①當p真q假時，

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，得

1

2

≤a＜1；
②當p假q真時，

a≤0或a≥1 a≤ 1 2 或a≥ 5 2

，得a≤0或a≥

5

2

所以a的取值范圍是（-∞，0]∪[

1

2

，1）∪[

5

2

，+∞）．

點評：本題給出含有字母參數的橢圓方程和二次函數，求命題為真時參數a的取值范圍，著重考查了橢圓的標準方程和二次函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．