Question

（本小題滿分16分）

對于函數，如果是一個三角形的三邊長，那么也是一個三角形的三邊長，則稱函數為“保三角形函數”．
對于函數，如果是任意的非負實數，都有是一個三角形的三邊長，則稱函數為“恒三角形函數”．
（Ⅰ）判斷三個函數“（定義域均為）”中，哪些是“保三角形函數”？請說明理由；
（Ⅱ）若函數是“恒三角形函數”，試求實數的取值范圍；
（Ⅲ）如果函數是定義在上的周期函數，且值域也為，試證明：既不是“恒三角形函數”，也不是“保三角形函數”.

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）k的取值范圍是
（Ⅲ）略

．解：（I）對于上是增函數，不妨設

對于上是增函數，不妨設
則
所以
故是“保三角形函數”  ………………4分
對于是一個三角形的三邊長，
但因為，
所以不是三角形的三邊長，故
不是“保三角形函數” ………………6分
（II）法一：

①當，適量題意 ………………8分
②當
所以
 …………9分
③當
所以
從而當
由
綜上所述，所求k的取值范圍是 ………………11分
法二：
，
①當適合題意；
②當上遞增，在上遞減，而

③當上遞增，而
且當
（以下同法一，按此方法求解的，類似給分）
（III）①因為，
使得顯然這樣的不是一個三角形的三邊長，
故不是“恒三角形函數” ………………13分
②因為，令，
且
所以是一個三角形的三邊長，但因為
不是一個三角形的三邊長，
故也不是“保三角形函數” ………………16分
（說明：也可以先證不是“保三角形函數”，然后據此知也不是“恒三角形函數”）