Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）令，求函數的極值；

（3）若，正實數滿足，證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，函數無極值；當時，函數有極大值，無極小值（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由導數幾何意義得切線斜率，所以先求導數得，即，又，再根據點斜式得切線方程（2）先求導數，再分類討論導函數在定義區間上符號變化規律，確定極值取法：當時，，函數無極值點．當時，一個零點，導函數在其左右符號變化，先增后減，所以有極大值，無極小值

（3）先化簡為，轉化為關于函數關系式：，研究函數，其中，得，因此，解不等式得

試題解析：（1）當時，，則，所以切點為，

又，則切線斜率，

故切線方程為，即．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2），

則，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

當時，∵，∴．

∴在上是遞增函數，函數無極值點．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

當時，，令得，

∴當時，；當時，，

因此在上是增函數，在上是減函數，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴時，有極大值，

綜上，當時，函數無極值；

當時，函數有極大值，無極小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分

（3）證明：當時，，

由，即，

從而，

令，則由得：，

可知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

∴，∴，

∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分