Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x
（1）求函數f（x）的單調區間，并求函數f（x）的極值；
（2）若方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個相異的實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3x2﹣3由f'（x）=0解得x=±1

列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值f（﹣1）	↘	極小值f（1）	↗

所以函數的單調遞增區間是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）

單調遞減區間是（﹣1，1）

函數的極大值是f（﹣1）=2，極小值是f（1）=﹣2

（2）解：方程x3﹣3x﹣a+1=0即為方程x3﹣3x=a﹣1

令y=x3﹣3x和y=a﹣1，方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個相異的實數根即上述兩個函數的圖象有三個不同的交點y=a﹣1是一條直線而y=x3﹣3x的圖象大致如下：

如圖要使兩個函數的圖象有三個不同的交點

則有：﹣2＜a﹣1＜2，解得：﹣1＜a＜3

【解析】（1）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間，從而求函數f（x）的極值；（2）方程x3﹣3x﹣a+1=0即為方程x3﹣3x=a﹣1，令y=x3﹣3x和y=a﹣1，方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個相異的實數根，轉化為判斷兩個函數何時有三個不同交點的問題，數形結合，問題得解．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．