Question

設V是全體平面向量構成的集合，若映射滿足：對任意向量
，以及任意∈R，均有 則稱映射具有性質P.現給出如下映射：
①
②
③
其中，具有性質P的映射的序號為________.（寫出所有具有性質P的映射的序號）

Answer 1

①③

解： a =(x₁，y₁)， b =(x₂，y₂)，則λ a +(1-λ) b =(λx₁+(1-λ)x₂， λy₁+（1-λ）y₂}
對于①，f[λ a +(1-λ) b ]=λx₁+（1-λ）x₂-λy₁-（1-λ）y₂=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）
而λf( a )+(1-λ)f( b )=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）滿足性質P
對于②f2（λa+（1-λb））=[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λy₁+（1-λ）y₂]，λf₂（a）+（1-λ）f₂（b）=λ（x₁²+y₁）+（1-λ）（x₂²+y₂）
∴f₂（λa+（1-λb））≠λf₂（a）+（1-λ）f₂（b），∴映射f2不具備性質P．
對于③f[λ a +(1-λ) b ]=λx₁+（1-λ）x₂+λy₁+（1-λ）y₂+1=λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
而λf( a )+(1-λ)f( b )=λ（x₁+y₁+1）+（1-λ）（x₂+y₂+1）═λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
滿足性質p
故答案為：①③