Question

【題目】已知圓C：x2+（y﹣1）2=5，直線l：mx﹣y+1﹣m=0，且直線l與圓C交于A、B兩點．
（1）若|AB|= ，求直線l的傾斜角；
（2）若點P（1，1），滿足2 = ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于半徑r= ，|AB|= ，∴弦心距d= ，

再由點到直線的距離公式可得d= = ，

解得m=± ．

故直線的斜率等于± ，故直線的傾斜角等于 或

（2）解：設點A（x1，mx1﹣m+1），點B（x2，mx2﹣m+1 ），

由題意2 = ，可得 2（1﹣x1，﹣mx1+m ）=（x2﹣1，mx2﹣m ），

∴2﹣2x1=x2﹣1，即2x1+x2=3． ①

再把直線方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圓C：x2+（y﹣1）2=5，化簡可得 （1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，

由根與系數(shù)的關系可得x1+x2= ②．

由①②解得x1= ，故點A的坐標為（ ， ）．

把點A的坐標代入圓C的方程可得m2=1，故m=±1，

故直線L的方程為x﹣y=0，或x+y﹣2=0．

【解析】（1）求出弦心距、利用點到直線的距離公式可得直線的斜率，即可求直線l的傾斜角；（2）設點A（x1 ， mx1﹣m+1），點B（x2 ， mx2﹣m+1 ），由題意2 = ，可得2x1+x2=3． ①再把直線方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圓C，化簡可得x1+x2= ②，由①②解得點A的坐標，把點A的坐標代入圓C的方程求得m的值，從而求得直線L的方程．