Question

【題目】中國高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來巨大便利，極大促進(jìn)了區(qū)域經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，高鐵的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔相關(guān)：當(dāng)時(shí)高鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1000人；當(dāng)時(shí)，載客量會在滿載基礎(chǔ)上減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為100人.記發(fā)車間隔為分鐘時(shí)，高鐵載客量為.

（1）求的表達(dá)式；

（2）若該線路發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的凈收益（元），當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，單位時(shí)間的凈收益最大？

Answer 1

【答案】（1），（2）發(fā)車時(shí)間間隔為10分鐘時(shí)，最大.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得到解析式.

（2）考慮和兩種情況，計(jì)算的解析式，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，計(jì)算最值得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，，

解得，因此.

（2）當(dāng)時(shí)，，

因此，.

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，單增；

當(dāng)時(shí)，，單減，所以.

當(dāng)時(shí)，，

因此，.

因?yàn)?/span>，此時(shí)單減，所以，

綜上，發(fā)車時(shí)間間隔為10分鐘時(shí)，最大.