Question

【題目】設函數．

（1）若函數是R上的單調增函數，求實數a的取值范圍；

（2）設， 是的導函數．

①若對任意的，求證：存在使；

②若，求證： ．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.證明見解析；②.證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意， 對恒成立，根據，等價為對恒成立，即可求得得取值范圍；（2）①分別求得與，若，則存在，使，從而得，取，則，即可證明；②不妨設，令，則，由（1）知函數單調遞增，則，從而，根據，推出，只需證明成立，即只需證明成立，設，求得函數的單調性，即可證明.

試題解析：（1）由題意， 對恒成立.

∵

∴對恒成立，

∵

∴，從而．

（2）①，則．

若，則存在，使，不合題意.

∴．

取，則．

此時．

∴存在，使．

②依題意，不妨設，令，則．

由（1）知函數單調遞增，則，從而．

∵

∴

∴．

∴．

下面證明，即證明，只要證明．

設，則在恒成立．

∴在單調遞減，故，從而得證．

∴，即．