Question

6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

(1)一堆一本，一堆兩本，一堆三本；

(2)甲得一本，乙得兩本，丙得三本；

(3)一人得一本，一人得兩本，一人得三本；

(4)平均分給甲、乙、丙三人；

(5)平均分成三堆.

Answer 1

思路解析：本題考查利用組合數(shù)公式解答分組問題及分析問題、解決問題的能力.要注意區(qū)分分組后，組與組之間是否還有順序.

解：(1)先在6本書中任取一本，作為一堆，有C種取法;再從余下的五本書中任取兩本，作為一堆，有C種取法;最后從余下的三本中取三本作為一堆，有C種取法，故共有分法CCC=60(種).

(2)由(1)知分成三堆的方法有CCC種，而每種分組方法僅對應(yīng)一種分配方法，故甲得一本，乙得兩本，丙得三本的分法亦為CCC=60(種).

(3)由(1)知分成三堆的方法有CCC種，但每一種分組方法又有A種不同的分配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得三本的分法有CCCC=360(種).

(4)3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書中任取出2本的方法有C種;甲不論用哪一種方法取得2本書后，乙再從余下的4本書中取2本書，有C種方法;而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的2本中取2本書，有C種方法，所以一共有CCC=90(種)方法.

(5)把6本不同的書分成三堆，每堆兩本與把6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，每人兩本的區(qū)別在于，后者相當(dāng)于把六本不同的書，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆書分給甲、乙、丙三個人.因此，設(shè)把六本不同的書，平均分成三堆的方法有x種，那么把6本不同的書分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)有xA種，由(4)知,把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本的方法有CCC種.

所以xA=CCC.則x==15(種).

方法歸納  本問題中的每一個小題都提出了一種類型問題，搞清類型的歸屬對今后解題大有裨益，其中(1)屬非均勻分組問題；(2)屬非均勻定向分配問題；(3)屬非均勻不定向分配問題；(4)屬均勻不定向分配問題；(5)屬均勻分組問題.

一般地，將n個不同的元素平均分成m組，每組r個元素，則所有的分法種數(shù)為

一般地，將n個不同元素分成m組，各組的個數(shù)依次為r₁,r₂,…,r_m，且各組中元素的個數(shù)互不相同，則不同的分組分法種數(shù)為