Question

設A，B分別是直線和上的兩個動點，并且，動點P滿足．記動點P的軌跡為C．
（I） 求軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（ I） 設P（x，y），，．由，知，，由，知．由此能求出曲線C的方程．
（ II） 設N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．故x=λs，y=16+λ （t-16）．由M、N在曲線C上，知由此能求出實數λ的取值范圍．
解答：解：（ I） 設P（x，y），
為A、B分別為直線和上的點，
故可設，．
∵，
∴，
∴，…（4分）
又，
∴．…（5分）
∴．
即曲線C的方程為．…（6分）
（ II） 設N（s，t），M（x，y），
則由，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲線C上，
∴…（10分）
消去s得  ．
由題意知λ≠0，且λ≠1，
解得．…（12分）
又|t|≤4，
∴．
解得  （λ≠1）．
故實數λ的取值范圍是（λ≠1）．…（14分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，容易出錯．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．