Question

已知雙曲線的一個焦點與拋物線x²=20y的焦點重合，且其漸近線的方程為3x±4y=0，則該雙曲線的標準方程為（　　）

• A、

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• B、

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• C、

  y2

  9

  -

  x2

  16

  =1
• D、

  y2

  16

  -

  x2

  9

  =1

Answer 1

分析：根據拋物線方程，算出其焦點為F（0，5）．由此設雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，根據基本量的平方關系與漸近線方程的公式，建立關于a、b的方程組解出a、b的值，即可得到該雙曲線的標準方程．

解答：解：∵拋物線x²=20y中，2p=20，

p

2

=5，
∴拋物線的焦點為F（0，5），
設雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵雙曲線的一個焦點為F（0，5），且漸近線的方程為3x±4y=0即y=

3

4

x，
∴

a2+b2 =c=5 a b = 3 4

，
解得

a=3 b=4

（舍負），
可得該雙曲線的標準方程為

y2

9

-

x2

16

=1．
故選：C

點評：本題給出雙曲線與已知拋物線有一個焦點重合，在已知漸近線的情況下求雙曲線的方程．著重考查了拋物線、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．