Question

【題目】某校高一舉行了一次數學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數據）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）估計本次競賽學生成績的中位數和平均分；
（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內的頻率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，樣本容量n= =50，y= =0.004，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030
（2）解：設本次競賽學生成績的中位數為m，平均分為 ，

則[0.016+0.03+（m﹣70）×0.040]×10=0.5，解得m=71，

=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6

（3）解：由題意可知，分數在[80，90）內的學生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，

分數在[90，100]內的學生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學生的所有情況有21種，

分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），

（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），

（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．

其中2名同學的分數都不在[90，100]內的情況有10種，分別為：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），

（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．

∴所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內的概率P=1﹣ =

【解析】（1）由樣本容量和頻數頻率的關系易得答案；（2）根據平均數的定義和中位數的定義即可求出．（3）由題意可知，分數在[80，90）內的學生有5人，記這5人分別為a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ， 分數在[90，100]內的學生有2人，記這2人分別為b1 ， b2 ， 列舉法易得
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息，以及對平均數、中位數、眾數的理解，了解⑴平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量；⑵平均數、眾數和中位數都有單位；⑶平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系，所以最為重要，應用最廣；⑷中位數不受個別偏大或偏小數據的影響；⑸眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據．