Question

據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為．現(xiàn)已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設(shè)（）．
（1）試將表示為的函數(shù)； （2）若，且時(shí)，取得最小值，試求的值．

Answer 1

(1) ， (2) 8．

試題分析：(1)解實(shí)際問題應(yīng)用題，關(guān)鍵要正確理解題意，正確列出等量關(guān)系，注意考慮函數(shù)定義域. 設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為，點(diǎn)C受B污染源污染程度為，其中為比例系數(shù)，且．從而點(diǎn)C處受污染程度．定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050134186517.png" style="vertical-align:middle;" /> (2) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050133983332.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，求復(fù)雜分式函數(shù)最值，通常考慮利用導(dǎo)數(shù)求解. ,令，得，因此函數(shù)在單調(diào)減，在單調(diào)增，即在時(shí)函數(shù)取極小值，也是最小值. 又此時(shí)，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．
解：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為，點(diǎn)C受B污染源污染程度為，其中為比例系數(shù)，且．                 4分
從而點(diǎn)C處受污染程度．         6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050133983332.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，             8分
，令，得，       12分
又此時(shí)，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．
所以，污染源B的污染強(qiáng)度的值為8．                14分