Question

在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝PA＝aBC(a＞0)．

(Ⅰ)當a＝1時，求證：BD⊥PC；

(Ⅱ)若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)當時，底面為正方形， 　　又因為，面　　2分 　　又面 　　　　3分 　　(Ⅱ)因為兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸、軸、軸建立坐標系，如圖所示， 　　則　　4分 　　設，則 　　要使，只要 　　所以，即　　6分 　　由此可知時，存在點使得 　　當且僅當，即時， 　　邊上有且只有一個點，使得 　　由此可知　　8分 　　設面的法向量 　　則即解得　　10分 　　取平面的法向量 　　則的大小與二面角的大小相等 　　所以 　　因此二面角的余弦值為　　12分