Question

已知在四棱錐P一ABCD中，二面角P一AD一B為60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明面面垂直，要在其中一個平面內找垂直于另一個平面的垂線，由已知可知，DA⊥PA且 DA⊥AB，所以DA⊥平面PAB，從而所證兩面垂直
（Ⅱ）求線面所成的角，需要先找斜線在平面內的射影，由（Ⅰ）知，過P作AB的垂線PH，就垂直于平面ABCD，故∠PDH為PD為平面ABCD所成角，再在三角形PHD中計算該角即可
（Ⅲ）要求二面角，需先找到二面角的平面角，由于PH⊥平面ABCD，故可用三垂線法作出二面角的平面角，即過H作CD的垂線，垂足為F，則∠PFH為二面角P-CD-B的平面角，再在三角形PFH中計算此角的正切值即可

解答：解：（I）證明：∵∠DAB=90°∴DA⊥AB
∵∠PAD=90°∴DA⊥PA，∵PA∩AB=A
∴DA⊥平面PAB，∵DA?平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
（II）∵平面PAB⊥平面ABCD，過P作PH⊥AB交于H，則PH⊥平面ABCD
連DH，則∠PDH為PD為平面ABCD所成角
∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴∠PAB為二面角P-AD-B的平面角，∠PAB=60°
設PA=a，則AD=a，PD=

2

a，PH=

3

2

a，∴sin∠PDH=

PH

PD

=

3 2 a

2 a

=

6

4

則PD與平面ABCD所成角的正弦值為

6

4

（III）延長CD、BA交于E，過H作HF⊥CE于F，連PF，
∵PH⊥平面ABCD，∴PF⊥CE
∴∠PFH為二面角P-CD-B的平面角
∵∠ADC=135°，∴∠EDA=45°，則EA=AD=a，EH=

3

2

a，
∵∠E=45°
∴FH=EH•sin45°=

3

2

a•

2

2

=

3 2

4

a，
tan∠PFH=

PH

FH

=

3 2 a

3 2 4 a

=

6

3

點評：本題考查了空間面面垂直的證明方法，空間線面角的作法和求法，空間面面角的作法和求法，解題時要認真體會垂線在解題中的重要應用，還要注意規范解題過程，邏輯嚴密