Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-4x的解集為（1，3），若f（x）的最大值大于-3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：不等式f（x）＞-4x的解集為（1，3），得方程f（x）=-4x兩個(gè)根是1，3．由此可得出二次函數(shù)f（x）中的系數(shù)間的關(guān)系，又f（x）的最大值大于-3，得二次項(xiàng)系數(shù)a＜0且可以得到關(guān)于a的不等關(guān)系．

解答：解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由題意得方程f（x）=-4x兩個(gè)根是1，3，
即ax²+（b+4）x+c=0兩個(gè)根是1，3．
∴

- b+4 a =4 c a =3

∴b=-4a-4，c=3a
又f（x）的最大值大于-3，即

4ac-b2

4a

＞-3
消去b，c得到關(guān)于a不等式，
a²+5a+4＞0
解得a的取值范圍是-1＜a＜0或a＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，解題的過(guò)程中，要有主元素的思想，即要把條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的不等關(guān)系．