Question

我國是一個人口大國，隨著時間推移，老齡化現象越來越嚴重，為緩解社會和家庭壓力，決定采用養老儲備金制度．公民在就業的第一年交納養老儲備金，數目為a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d(d>0)，因此，歷年所交納的儲備金數目a₁，a₂，…，a_n是一個公差為d的等差數列．與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利．這就是說，如果固定利率為r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁(1＋r)^n－1，第二年所交納的儲備金就變為a₂(1＋r)^n－2，…，以T_n表示到第n年所累計的儲備金總額．
(1)寫出T_n與T_n－1(n≥2)的遞推關系式；
(2)求證：T_n＝A_n＋B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列．

Answer 1

（1）T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n(n≥2)（2）見解析

(1)解：由題意可得：T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n(n≥2)．
(2)證明：T₁－a₁，對n≥2反復使用上述關系式，得
T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n＝T_n－2(1＋r)²＋a_n－1(1＋r)＋a_n＝…＝a₁(1＋r)^n－1＋a₂(1＋r)^n－2＋…＋a_n－1(1＋r)＋a_n，①
在①式兩端同乘1＋r，得
(1＋r)T_n＝a₁(1＋r)ⁿ＋a₂(1＋r)^n－1＋…＋a_n－1(1＋r)²＋a_n(1＋r)，②
②－①，得rT_n＝a₁(1＋r)ⁿ＋d[(1＋r)^n－1＋(1＋r)^n－2＋…＋(1＋r)]－a_n＝[(1＋r)ⁿ－1－r]＋a₁(1＋r)ⁿ－a_n.
即T_n＝(1＋r)ⁿ－n－.
如果記A_n＝(1＋r)ⁿ，B_n＝－－n，則T_n＝A_n＋B_n.其中{A_n}是以(1＋r)為首項，以1＋r(r>0)為公比的等比數列；{B_n}是以－－為首項，以－為公差的等差數列