Question

 (本題滿分15分) 如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.

（Ⅰ）求證：//平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）試在線段上確定一點，使得與所成的角是.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）60º。（Ⅲ）點P是AC的中點。

【解析】本題考查直線與平面平行，二面角的知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題。

（1）要證AM∥平面BDE，直線證明直線AM平行平面BDE內的直線OE即可，也可以利用空間直角坐標系，求出向量AM ，在平面BDE內求出向量 NE ，證明二者共線，說明AM∥平面BDE，

（2）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，說明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小；也可以建立空間直角坐標系，求出

NE • DB =0， NE • NF =0說明 NE 是平面DFB的法向量，求出平面DAF的法向量 AB =(- 2 ，0，0)，然后利用數量積求解即可．

（3）點P是AC的中點時，滿足PF和CD所成的角是60º，運用向量的方法證明。

解: (Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,   ∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE。∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF。∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小為60º。

（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ。∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴

又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴

所以t=1或t=3(舍去)即點P是AC的中點。

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系。

設，連接NE，則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,    ∴NE=(,    又點A、M的坐標分別是  （）、（  ∴ AM=（∴NE=AM且NE與AM不共線，∴NE∥AM。

又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF。

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。∴為平面DAF的法向量。∵NE·DB=（·=0，∴NE·NF=（·=0得NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE為平面BDF的法向量。∴cos<AB,NE>=∴AB與NE的夾角是60º。即所求二面角A—DF—B的大小是60º。

（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得∴CD=（，0，0）又∵PF和CD所成的角是60º。∴解得或（舍去），即點P是AC的中點。