Question

（本小題滿分12分）已知函數．

（Ⅰ）討論函數在定義域內的極值點的個數；

（Ⅱ）若函數在處取得極值，對恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）顯然函數的定義域為.

因為，所以，

當時，在上恒成立，函數 在單調遞減，

∴在上沒有極值點；                                              ……3分

當 時，由得，由得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當時在上沒有極值點，當時在上有一個極值點.……6分

（Ⅱ）∵函數在處取得極值，由（Ⅰ）結論知，

∴，                                      ……8分

令，所以，

令可得在上遞減，令可得在上遞增，   ……10分

∴，即.                                   ……12分

考點：本小題主要考查函數的求導、函數的單調性、函數的極值最值和恒成立問題，考查學生分析問題、解決問題的能力和分類討論思想的應用以及運算求解能力.

點評：導數是研究函數問題的有力工具，常常用來解決函數的單調性、極值、最值等問題.對于題目條件較復雜，設問較多的題目審題時，應該細致嚴謹，將題目條件條目化，一一分析，細心推敲.對于設問較多的題目，一般前面的問題較簡單，問題難度階梯式上升，先由條件將前面的問題正確解答，然后將前面問題的結論作為后面問題解答的條件，注意問題之間的相互聯系，使問題化難為易，層層解決.