Question

已知命題P：已知函數f（x）=x²-4mx+4m²+2在區間[-1，3]上的最小值為2．
已知命題q：不等式x+|x-m|＞1對任意的實數R恒成立．如果p與q僅有一個為真命題．
求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出p，q為真命題時m的條件，將兩個命題中有且僅有一個真命題轉化為①P真Q假②P假Q真兩類，再將結果合并即可．

解答：解：若命題P為真，由f（x）=（x-2m）²+2，對稱軸x=2m
當2m≤1，即m≤-

1

2

時，f（x）在[-1，3]上為增函數，f（x）_min=f（-1）=4m²+4m+3=2，即4m²+4m+1=0，解得m=-

1

2

當-1＜2m≤3，即-

1

2

＜m≤

3

2

時，f（x）_min=f（2m）=2，符合題意
當2m＞3即m＞

3

2

時，f（x）在[-1，3]上為減函數，f（x）_min=f（3）=4m²-12m+11=2，即（2m-3）²=0，解得m=

3

2

（舍去）
綜上可知，若P為真，則-

1

2

≤m≤

3

2

…（4分）
又若命題Q為真，由x+|x-m|=

2x-m，x≥m m，x＜m

∴要不等式x+|x-m|＞1對任意x∈R恒成立，則m＞1
∴若Q為真，則則m＞1…（7分）
而上述兩個命題中有且僅有一個真命題
∴①當P真Q假，有-

1

2

≤m≤1…（9分）
②當P假Q真，有m＞

3

2

…（11分）
綜合①②知，滿足條件的實數m的取值范圍是[-

1

2

，1]∪（

3

2

，+∞）…（12分）

點評：本題考查復合命題真假成立才條件，一般轉化成簡單命題真假處理．考查分類討論、計算、邏輯思維能力．